Question

19．三棱錐P-ABC的四個頂點都在體積為$\frac{500π}{3}$的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由球的體積為$\frac{500π}{3}$，可以得球的半徑；由小圓面積為16π，可以得小圓的半徑；由圖知三棱錐高的最大值應(yīng)過球心，故可以作出解答．

解答 解：如圖，設(shè)球的半徑為R，由球的體積公式得：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{500π}{3}$，∴R=5．
又設(shè)小圓半徑為r，則πr²=16π，∴r=4．
顯然，當(dāng)三棱錐的高過球心O時，取得最大值；
由OO₁=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，所以高PO₁=PO+OO₁=5+3=8．
故選：C．

點評 本題考查了由球的體積求半徑，由圓的面積求半徑，以及勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．