Question

某季節性水果A在上市當月的第x天（1≤x≤30，x∈N₊）的銷售價格p=50-|x-6|（元∕百斤），一水果商在第x天（1≤x≤30，x∈N₊）銷售水果A的量為q=a+|x-8|（百斤）（a為常數），且該水果商在第7天銷售水果的銷售收入為2009元．
（1）求該水果商在第10天銷售水果的銷售收入；
（2）這30天中該水果商在哪一天的銷售收入最大，為多少？

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型,分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）直接利用條件，求解第10天的銷售收入即可．
（2）設第x天的銷售收入為W_x，W_x=

(44+x)(48-x)1≤x≤6 2009x=7 (56-x)(32+x)8≤x≤30.

，利用分段函數求出W₂＞W₇＞W₁₂，推出第2天該水果商的銷售收入最大以及最大值．

解答： 解：（1）由已知第7天的銷售價格p=49，
∴第7天的銷售收入W₇=49×（a+1）=2009（元），∴a=40．
第10天的銷售收入W₁₀=46×42=1932（元）.5分
（2）設第x天的銷售收入為W_x，則W_x=

(44+x)(48-x)1≤x≤6 2009x=7 (56-x)(32+x)8≤x≤30.

當1≤x≤6時，W_x=（44+x）（48-x）≤（

(44+x)+(48-x)

2

）²=2116（當且僅當x=2時取等號），
∴當x=2時取最大值W₂=2116元．
當8≤x≤30時，W_x=（56-x）（32+x）≤（

(56-x)+(32+x)

2

）²=1936（當且僅當x=12時取等號），
∴當x=12時取最大值W₁₂=1936元．
由于W₂＞W₇＞W₁₂，∴第2天該水果商的銷售收入最大，為2116元.12分．

點評：本題考查函數與方程的綜合應用，分段函數的應用，考查最值的求法，考查計算能力．