Question

已知

AO

=α，

OB

=β，α、β的夾角為

2π

3

，|α+β|=1，則△AOB面積的最大值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：根據|α+β|=1，平方得出|α|²+|β|²+2|α||β|cos

2π

3

=1，化簡|α|²+|β|²-|α||β|=1≥2|α||β|-|α||β|，運用基本不等式|α||β|≤1，
得出S_△AOB=

1

2

|α||β|sin

π

3

≤

3

4

，即可得出△AOB取得最大面積．

解答： 解：∵|α+β|=1，
∴|α|²+|β|²+2|α||β|cos

2π

3

=1，
∴|α|²+|β|²-|α||β|=1≥2|α||β|-|α||β|，
∴|α||β|≤1，
∴S_△AOB=

1

2

|α||β|sin

π

3

≤

3

4

，
∴當且僅當|α|=|β|時，△AOB取得最大面積

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：本題考查了平面向量的運算，應用求解模，夾角問題，結合不等式求解，屬于中檔題．