Question

已知動圓C過定點F（0，1），且與直線l₁：y=-1相切，圓心C的軌跡為E．
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）已知直線l₂交軌跡E于兩點P，Q，且PQ中點縱坐標為2，則|PQ|最大值為多少？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設C（a，b），圓半徑r=b-（-1）=b+1，將a，b分別換為x，y，能求出圓心C的軌跡方程．
（2）設P（p，

p2

4

），Q（q，

q2

4

），由已知得p²+q²=16，|PQ|²=（p-q）²+（

p2

4

-

q2

4

）²=

1

4

[144-（pq+4）²]，由此能求出|PQ|的最大值為6．

解答： 解：（1）設C（a，b），圓半徑r=b-（-1）=b+1，
圓方程：（x-a）²+（y-b）²=（b+1）²
過定點F（0，1）：a²+（1-b）²=（b+1）²
a²=4b
將a，b分別換為x，y，
得圓心C的軌跡為E：x²=4y．
（2）設P（p，

p2

4

），Q（q，

q2

4

），
PQ中點的縱坐標為2：

1

2

（

p2

4

+

q2

4

）=2，
p²+q²=16，①
|PQ|²=（p-q）²+（

p2

4

-

q2

4

）²
=（p-q）²[1+

1

16

（p+q）²]
=（p²+q²-2pq）[1+

1

16

（p²+q²+2pq）]
=（16-2pq）（2+

1

8

pq）
=

1

4

（8-pq）（16+pq）
=

1

4

[144-（pq+4）²]，
pq=-4時，|PQ|²最大，最大值為

144

4

=36，
∴|PQ|的最大值為6．

點評：本題考查動點C的軌跡方程的求法，考查|PQ|最大值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．