Question

5．已知f（a）=$\frac{si{n}^{2}（π-α）•cos（2π-α）•tan（-π+α）}{sin（-π+α）•tan（-α+3π）}$．
（1）化簡f（α）；
（2）若f（α）=$\frac{1}{8}$，且$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，求cosα-sinα的值；
（3）若α=-$\frac{31π}{3}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式即可化簡得解．
（2）由已知利用同角三角函數基本關系式可求（cosα-sinα）²=$\frac{3}{4}$．結合范圍$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，可求cosα-sinα＜0，開方即可得解．
（3）利用誘導公式，特殊角的三角函數值即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）f（a）=$\frac{si{n}^{2}（π-α）•cos（2π-α）•tan（-π+α）}{sin（-π+α）•tan（-α+3π）}$=$\frac{si{n}^{2}α•cosα•tanα}{（-sinα）（-tanα）}$=sinα•cosα…4分
（2）∵若f（α）=sinα•cosα=$\frac{1}{8}$，
可知，（cosα-sinα）²=cos²α-2sinαcosα+sin²α=1-2cosαsinα=1-2×$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{4}$…6分
又∵$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴cosα＜sinα，即cosα-sinα＜0，
∴cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$…8分
（3）∵α=-$\frac{31π}{3}$=-6×$2π+\frac{5π}{3}$，
∴f（-$\frac{31π}{3}$）=cos（-$\frac{31π}{3}$）sin（-$\frac{31π}{3}$）=cos（-6×$2π+\frac{5π}{3}$）sin（-6×$2π+\frac{5π}{3}$）=cos$\frac{5π}{3}$sin$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$…12分

點評 本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式，特殊角的三角函數值在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．