Question

6．若關于的方程$\sqrt{4-{x^2}}-kx+2k-3=0$有且只有一個實數根，則實數k的取值范圍為0＜k＜$\frac{3}{4}$或k=$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 根據方程的根與對應函數的零點的關系，我們可用圖象法解答本題，即關于x的方程$\sqrt{4-{x^2}}-kx+2k-3=0$有且只有一個實數根，則函數y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象有且只有1個交點，在同一坐標系中畫出函數y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象，分析圖象即可得到答案．

解答 解：若關于x的方程$\sqrt{4-{x^2}}-kx+2k-3=0$有且只有一個實數根，
則函數y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象有且只有1個交點
∵函數y=kx+3-2k的圖象恒過（2，3）點
故在同一坐標系中畫出函數y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象如下圖所示：

由圖可知
當k=$\frac{5}{12}$時，直線與圓相切，
當k=$\frac{3}{4}$時，直線過半圓的左端點（-2，0）
若函數y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象有且只有1個交點，則0＜k＜$\frac{3}{4}$或k=$\frac{5}{12}$
故答案為：0＜k＜$\frac{3}{4}$或k=$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，方程的根與函數零點的關系，函數的圖象，其中在確定無法解答的方程問題時，將其轉化為確定對應函數的零點，利用圖象法解答是最常用的方法．