Question

已知圓M：（x-2）²+y²=16，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點是圓M的圓心，其離心率為

2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）斜率為k的直線l過橢圓C的左頂點，若直線l與圓M相交，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由圓M：（x-2）²+y²=16，可得圓心（2，0），半徑r=4，即為橢圓的右焦點F（2，0），可得c=2．又

c

a

=

2

3

，a=3，b²=a²-c²，解出即可．
（II）橢圓的左頂點為（-3，0），可得直線l的方程為：y=k（x+3）．由于直線l與圓M相交，可得圓心到直線l的距離d=

|2k+3k|

k2+1

＜4，解出即可．．

解答： 解：（I）由圓M：（x-2）²+y²=16，可得圓心（2，0），半徑r=4，
即為橢圓的右焦點F（2，0），∴c=2．
又

c

a

=

2

3

，∴a=3，b²=a²-c²=5．
∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．
（II）橢圓的左頂點為（-3，0），可得直線l的方程為：y=k（x+3）．
∵直線l與圓M相交，
∴圓心到直線l的距離d=

|2k+3k|

k2+1

＜4，
化為k2＜

16

9

，
解得-

4

3

＜k＜

4

3

．
∴k的取值范圍是-

4

3

＜k＜

4

3

．

點評：本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相交轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與半徑的大小關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．