Question

9．已知圓O：x²+y²=a²（a＞0），點(diǎn)A（0，4），B（2，2）．
（1）若線段AB的中垂線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）過直線AB上的點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，若∠MPN=60°，則稱點(diǎn)P為“好點(diǎn)”．若直線AB上有且只有兩個(gè)“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），求出直線AB的斜率，AB的中垂線方程x-y+2=0，利用直線與圓相切，求解a即可．
（2）連接PO，OM，得到圓O'的方程為x²+y²=4a²，直線AB上有且只有兩個(gè)“好點(diǎn)”，推出圓心O到直線AB的距離$\frac{4}{{\sqrt{2}}}＜2a$，求解即可．

解答 解：（1）由A（0，4），B（2，2）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），直線AB的斜率為-1，…..（2分）
所以AB的中垂線方程為y-3=1×（x-1），即x-y+2=0，…..（4分）
又因?yàn)锳B的中垂線與圓O相切，
所以圓心O到AB中垂線的距離$\frac{2}{{\sqrt{2}}}=a$，即$a=\sqrt{2}$．…（6分）
（2）連接PO，OM，
在Rt△POM中，∠OPM=30°，OM=a，
所以PO=2OM=2a，…．（8分）
所以點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，2a為半徑的圓，記為圓O'，
則圓O'的方程為x²+y²=4a²，…..（10分）
又因?yàn)橹本�AB的方程為x+y-4=0，且直線AB上有且只有兩個(gè)“好點(diǎn)”，
則直線AB與圓O'相交，所以圓心O到直線AB的距離$\frac{4}{{\sqrt{2}}}＜2a$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（\sqrt{2}，+∞）$．…．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，圓的方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．