Question

7．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 設F（-c，0），由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得a=$\sqrt{3}$c，由橢圓的通經公式可知：$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，由b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程．

解答 解：設F（-c，0），由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$c，
過點F且與x軸垂直的直線為x=-c，
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，由b²=a²-c²，
即$\frac{2（{a}^{2}-{c}^{2}）}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得：a=$\sqrt{3}$，
∴c=1，b=$\sqrt{2}$，

∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法及簡單幾何性質，考查橢圓的通經公式，考查計算能力，屬于中檔題．