Question

15．對于函數f（x）、g（x）和區間D，如果存在x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則稱x₀是函數f（x）與g（x）在區間D上的“互相接近點”．現給出兩個函數：
①f（x）=x²，g（x）=2x-2；
②$f（x）=\sqrt{x}$，g（x）=x+2；
③f（x）=e^-x+1，$g（x）=-\frac{1}{e}$；
④f（x）=lnx，g（x）=x．
則在區間（0，+∞）上存在唯一“互相接近點”的是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 分別求出|f（x）-g（x）|的最小值即可判斷出“互相接近點”的個數．

解答 解：對于①，f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
令|（x-1）²+1|≤1得x=1．
∴f（x）與g（x）在（0，+∞）上有唯一“互相接近點”．
對于②，g（x）-f（x）=x-$\sqrt{x}$+2=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
∴f（x）與g（x）在（0，+∞）上沒有“互相接近點”．
對于③，f（x）-g（x）=e^-x+1+$\frac{1}{e}$＞1+$\frac{1}{e}$＞1，
∴f（x）與g（x）在（0，+∞）上沒有“互相接近點”．
對于④，令y=g（x）-f（x）=x-lnx，則y′=1-$\frac{1}{x}$，
∴當0＜x＜1時，y′＜0，當x＞1時，y′＞0，
∴y=x-lnx在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x=1時，y取得極小值即最小值1，
∴f（x）與g（x）在（0，+∞）上有唯一“互相接近點”．
故選D．

點評 本題考查了函數單調性與函數最值的計算，屬于中檔題．