Question

3．已知不等式|t-2|+|t-3|≤1的解集為[a，b]，ax²+by²=1
（Ⅰ）求a•b的值；
（Ⅱ）求x+y的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據絕對值的性質得到關于t的不等式，解出即可；（Ⅱ）根據不等式的性質求出x+y的范圍，根據滿足“=”的條件求出x+y的最值即可．

解答 解：（I）由|t-2|+|t-3|≤1及|t-2|+|t-3|≥|（t-2）-（t-3）|=1，
得（t-2）•（t-3）≤0，
所以2≤t≤3，
即：a=2，b=3，a•b=6；
（II） 由（I）得ax²+by²=2x²+3y²=1，
∴$（{2{x^2}+3{y^2}}）•（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}）$≥（x+y）²，
∴$-\frac{{\sqrt{30}}}{6}≤x+y≤\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，
當且僅當$x=-\frac{{\sqrt{30}}}{10}，y=-\frac{{\sqrt{30}}}{15}$時x+y取最小值$-\frac{{\sqrt{30}}}{6}$；
當且僅當$x=\frac{{\sqrt{30}}}{10}，y=\frac{{\sqrt{30}}}{15}$時x+y取最大值$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查不等式的性質，是一道中檔題．