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4.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心在第二象限,半徑為$\sqrt{2}$,且圓C與直線3x+4y=0及y軸都相切.
(1)求D、E、F;
(2)若直線x-y+2$\sqrt{2}$=0與圓C交于A、B兩點,求|AB|.

分析 (1)先求出圓C的標準式為:(x+$\frac{D}{2}$)2+(y+$\frac{E}{2}$)2=$\frac{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}{4}$,圓心為(-$\frac{D}{2}$,-$\frac{E}{2}$),利用點到直線距離求出各參數即可;
(2)利用圓心與弦交點的三角形與點到直線距離來求弦長.

解答 解:(1)圓C的標準式為:(x+$\frac{D}{2}$)2+(y+$\frac{E}{2}$)2=$\frac{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}{4}$,圓心為(-$\frac{D}{2}$,-$\frac{E}{2}$),
因為圓C與y軸相切,即-$\frac{D}{2}$=-$\sqrt{2}$⇒D=2$\sqrt{2}$;
圓C與3x+4y=0相切,即d=$\frac{|3×(-\sqrt{2})+4×(-\frac{E}{2})|}{5}$=$\sqrt{2}$⇒E=-4$\sqrt{2}$,
即圓心為(-$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$),
$\frac{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}{4}$=2⇒F=8,
綜上:D=2$\sqrt{2}$,E=-4$\sqrt{2}$,F=8;
(2)由(1)知圓心(-$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$),R=$\sqrt{2}$,
由點到直線距離知d=$\frac{|-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1,
所以$\frac{|AB|}{2}$=$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-{1}^{2}}$=1,
故|AB|=2.

點評 本題主要考查了圓的標準方程,圓與直線相切以及點到直線的距離等知識點,屬基礎題.

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