Question

19．設函數f（x）定義在（0，+∞）上的單調函數，且滿足條件f（4）=1，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x+6）＞2，求x的取值范圍；
（3）若對于任意x∈[1，4]都有f（x）≥m²+m-1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（4）=1，將x₁=4，x₂=1帶入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）的值．
（2）函數f（x）定義在（0，+∞）上的單調函數，f（4）=1，利用（1）的結果比較可得單調性，再利用單調性求解不等式可得x的范圍．
（3）由（2）知函數f（x）在x∈[1，4]是增函數，其最小值為f（1），f（1）≥m²+m-1恒成立即可得m的范圍．

解答 解：（1）由題意：f（4）=1，任意x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
令x₁=4，x₂=1，則f（4）=f（4）+f（1）．
可得：f（1）=0．
（2）由題意：函數f（x）定義在（0，+∞）上的單調函數，f（4）=1，由（1）得f（1）=0，f（1）＜f（4）
∴函數f（x）定義在（0，+∞）上的單調增函數．
∵f（4）=1，則2=f（4）+f（4）=f（4×4）=f（16）
那么：f（x+6）＞2，等價于：x+6＞16，
解得：x＞10．
所以x的取值范圍是（10，+∞）
（3）由（2）知函數f（x）在x∈[1，4]是增函數，
∴最小值為f（1），f（x）≥m²+m-1在x∈[1，4]恒成立，等價于f（1）≥m²+m-1，
由（1）可知f（1）=0，
故得：0≥m²+m-1，
解得：$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}≤m≤\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
所以實數m的取值范圍是[$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$]．

點評 本題考查了抽象函數的帶值計算，單調性的證明和運用以及利用最值求解恒成立問題．屬于中檔題．