Question

16．已知函數f（x）=$\frac{{λ•{2^x}+（λ-2）}}{{{2^x}+1}}$．
（1）是否存在實數λ，使f（x）為奇函數．
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用單調性定義證明．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數的定義，或f（0）=0，即可得出結論；
（2）根據單調性的證明步驟，即可證明結論．

解答 解：由題：f（x）=$\frac{{λ•{2^x}+（λ-2）}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{λ（{2^x}+1）-2}}{{{2^x}+1}}$=λ$-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
（1）法一：∵f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∴λ$-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}$=-λ+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
∴2λ=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+$\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}$=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+$\frac{{2•{2^x}}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{2（{2^x}+1）}}{{{2^x}+1}}$=2．
∴λ=1．
經檢驗 當λ=1時，f（x）為奇函數．
∴存在λ=1，使f（x）為奇函數．
法二：若存在實數λ，使f（x）為奇函數，則f（0）=0，即λ$-\frac{2}{{{2^0}+1}}$=0
∴λ=1．
當λ=1時，f（x）=1$-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，定義域R關于原點對稱
且f（x）+f（-x）=（1$-\frac{2}{{{2^x}+1}}$）+（1$-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}$）
=2$-\frac{2}{{{2^x}+1}}$$-\frac{{2•{2^x}}}{{{2^x}+1}}$=$2-\frac{{2（{2^x}+1）}}{{{2^x}+1}}=0$
∴存在λ=1，使f（x）為奇函數．
（2）f（x）是增函數，證明如下：
設x₁，x₂∈且 x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（λ$-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}$）-（λ$-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}$）=$\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$
由x₁＜x₂可知：0＜${2^{x_1}}$＜${2^{x_2}}$，∴${2^{x_1}}$-${2^{x_2}}$＜0，又${2^{x_1}}$+1＞0，${2^{x_2}}$+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴λ∈R，f（x）是定義域上增函數．

點評 本題考查奇函數、單調性的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．