Question

4．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．在極坐標與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ） 求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ） 設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為（2，1），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，ρ²=x²+y²，將曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ，兩邊同乘ρ，化成直角坐標方程；
（2）利用參數的幾何意義，即可求|PA|+|PB|．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ，所以ρ²=4ρcosθ，它的直角坐標方程是：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4…．（3分）
（2）設點A、B對應的參數分別為t₁，t₂，將$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入（x-2）²+y²=4整理得${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$，則$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=-\sqrt{2}}\\{{t_{1•}}{t_2}=-3}\end{array}}\right.$，…..（5分）
又|PA|+|PB|=$|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}-{t_2}}|={（{t_1}+{t_2}）^2}-4{t_1}t{\;}_2=\sqrt{14}$…..（10分）

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查參數意義的運用，屬于中檔題．