Question

8．如圖，正三棱錐P-ABC，已知AB=2，PA=3
（1）求此三棱錐體積
（2）若M是側面PBC上一點，試在面PBC上過點M畫一條與棱PA垂直的線段，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，由正三棱錐的性質可得O為底面三角形的中心，求解三角形可得AD，進一步得到AO，求得PO，再由棱錐體積公式求得正三棱錐P-ABC的體積；
（2）由（1）結合線面垂直的判定可得BC⊥平面PAO，得到BC⊥PA，過M作線段EF平行于BC，則EF為所求．

解答 解：（1）如圖，

過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，
∵P-ABC為正三棱錐，∴O為底面正三角形的中心，
連接AO并延長交BC于D，則AD⊥BC，且AD=$\sqrt{3}$，
∴$AO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則$PO=\sqrt{{3}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\sqrt{\frac{23}{3}}=\frac{\sqrt{69}}{3}$．
∴${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{69}}{3}=\frac{\sqrt{23}}{3}$；
（2）過M作線段EF平行于BC，則EF為所求．
理由：∵P-ABC為正三棱錐，過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，
∴O為底面正三角形的中心，則PO⊥BC，AO⊥BC，
∴BC⊥平面PAO，則BC⊥PA，
∵EF∥BC，∴EF⊥PA．

點評 本題考查線面垂直的判定和性質，考查空間想象能力和思維能力，考查棱錐體積的求法，是中檔題．