Question

6．已知函數(shù)f（x）=4sin²x+4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤π時，求方程f（x）=1的解；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}|{f（x+\frac{π}{12}）}|+\frac{1}{2}|{f（x+\frac{π}{3}）}$|（x∈R），試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)0≤x≤π時，利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象求得方程f（x）=1的解．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)g（x）的定義域為r，且滿足g（-x）=g（x）可得g（x）為偶函數(shù)，化簡函數(shù)g（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的值域，求得g（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=4{sin^2}x+4sinxcos（x+\frac{π}{6}）-1=4{sin^2}x+4sinx（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx）-1$ 
=$4{sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-2{sin^2}x-1=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∴$2sin（2x-\frac{π}{6}）=1∴sin（2x-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，∴$2x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}或2kπ+\frac{5π}{6}（k∈Z）$．
∵0≤x≤π，∴$x=\frac{π}{6}或x=\frac{π}{2}$．
（Ⅱ）∵$g（x）=\frac{1}{2}|{f（x+\frac{π}{12}）}|+\frac{1}{2}|{f（x+\frac{π}{3}）}|=|{sin2x}|+|{cos2x}|$，∴g（-x）=|sin2（-x）|+|cos2（-x）|=|sin2x|+|cos2x|=g（x），
∴g（x）為偶函數(shù)，$g（x）=|{sin2x}|+|{cos2x}|=\sqrt{1+2|{sin2x}||{cos2x}|}=\sqrt{1+|{sin4x}|}$，
∴g（x）的值域為$[{1，\sqrt{2}}]$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象以及正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．