Question

16．已知-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$
（1）求sinx•cosx的值
（2）求sinx-cosx的值
（3）求$\frac{1}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$的值．

Answer 1

分析 （1）將已知等式兩邊平方，利用三角函數的平方關系式，直接求出sinxcosx的值；
（2）由角的范圍可求sinx-cosx＜0，由（1）結論即可計算得解；
（3）化簡所求，利用（1）（2）的結論即可計算得解．

解答 解：（1）將sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，兩邊平方得：（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，
故可得：sinxcosx=-$\frac{12}{25}$．
（2）因為：-$\frac{π}{2}$＜x＜0，可得：sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，
又因為：（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=1-（-$\frac{24}{25}$）=$\frac{49}{25}$，
所以：sinx-cosx=-$\frac{7}{5}$．
（3）$\frac{1}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{1}{（cosx-sinx）（cosx+sinx）}$=$\frac{1}{\frac{7}{5}×\frac{1}{5}}$=$\frac{25}{7}$．

點評 本題考查同角三角函數的基本關系式的應用，三角函數的化簡求值，考查了計算能力，屬于中檔題．