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15.已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2
(1)若函數f(x)在x=1處有極值為10,求實數a,b的值;
(2)當b=1時,函數f(x)在區間(1,2)上單調遞減,求實數a的取值范圍.

分析 (1)利用導數f'(x)=3x2+2ax+b,$\left\{\begin{array}{l}{f(1)=10}\\{{f}^{′}(1)=0}\end{array}\right.$求解.
(2)f'(x)=3x2+2ax+1≤0在(1,2)上恒成立,$2a≤-\frac{{1+3{x^2}}}{x}=-(\frac{1}{x}+3x)$在(1,2)上恒成立,利用基本不等式求解即可.

解答 解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,由$\left\{{\begin{array}{l}{f'(1)=0}\\{f(1)=10}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{3+2a+b=0}\\{a+b+{a^2}=9}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}}\right.$
經驗證,當$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}}\right.$時,f'(x)=(x-1)(3x+11),f(1)為極小值;
當$\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}}\right.$時,f'(x)=3(x-1)2≥0恒成立,f(x)為單調遞增函數,無極值;
綜上,a=4,b=-11…(6分)
(2)f'(x)=3x2+2ax+1≤0在(1,2)上恒成立,
$2a≤-\frac{{1+3{x^2}}}{x}=-(\frac{1}{x}+3x)$在(1,2)上恒成立,即$2a≤-\frac{13}{2}$,得$a≤-\frac{13}{4}$
經驗證,當$a=-\frac{13}{4}$時滿足題意;∴a的取值范圍為$(-∞,-\frac{13}{4}]$

點評 本題考查了導數在解決函數的切線問題,不等式恒成立,參變量的范圍問題的應用,屬于簡單的綜合題目.

練習冊系列答案
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