分析 (1)利用導數f'(x)=3x2+2ax+b,$\left\{\begin{array}{l}{f(1)=10}\\{{f}^{′}(1)=0}\end{array}\right.$求解.
(2)f'(x)=3x2+2ax+1≤0在(1,2)上恒成立,$2a≤-\frac{{1+3{x^2}}}{x}=-(\frac{1}{x}+3x)$在(1,2)上恒成立,利用基本不等式求解即可.
解答 解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,由$\left\{{\begin{array}{l}{f'(1)=0}\\{f(1)=10}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{3+2a+b=0}\\{a+b+{a^2}=9}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}}\right.$
經驗證,當$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}}\right.$時,f'(x)=(x-1)(3x+11),f(1)為極小值;
當$\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}}\right.$時,f'(x)=3(x-1)2≥0恒成立,f(x)為單調遞增函數,無極值;
綜上,a=4,b=-11…(6分)
(2)f'(x)=3x2+2ax+1≤0在(1,2)上恒成立,
$2a≤-\frac{{1+3{x^2}}}{x}=-(\frac{1}{x}+3x)$在(1,2)上恒成立,即$2a≤-\frac{13}{2}$,得$a≤-\frac{13}{4}$
經驗證,當$a=-\frac{13}{4}$時滿足題意;∴a的取值范圍為$(-∞,-\frac{13}{4}]$
點評 本題考查了導數在解決函數的切線問題,不等式恒成立,參變量的范圍問題的應用,屬于簡單的綜合題目.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源:2017屆安徽合肥一中高三上學期月考一數學(理)試卷(解析版) 題型:解答題
市場上有一種新型的強力洗衣粉,特點是去污速度快,已知每投放(
且
)個單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機中,它在水中釋放的濃度
(克/升)隨著時間
(分鐘)變化的函數關系式近似為
,其中
,若多次投放,則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和,根據經驗,當水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時,它才能起有效去污的作用.
(1)若只投放一次4個單位的洗衣液,則有效去污時間可能達幾分鐘?
(2)若先投放2個單位的洗衣液,6分鐘后投放個單位的洗衣液,要使接下來的4分鐘中能夠持續有效去污,試求
的最小值(精確到0.1,參考數據:
取
).
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