Question

1．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-ax+b，在點M（1，f（1））處的切線方程為9x+3y-10=0，求
（1）實數a，b的值；            
（2）函數f（x）的單調區間以及在區間[0，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出曲線的斜率，切點坐標，求出函數的導數，利用導函數值域斜率的關系，即可求出a，b．
（2）求出導函數的符號，判斷函數的單調性以及求解閉區間的函數的最值．

解答 解：（1）因為在點M（1，f（1））處的切線方程為9x+3y-10=0，
所以切線斜率是k=-3----------------------（1分）
且9×1+3f（1）-10=0，
求得$f（1）=\frac{1}{3}$，即點$M（1，\;\frac{1}{3}）$----------------------（2分）
又函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-ax+b$，則f′（x）=x²-a----------------------（3分）
所以依題意得$\left\{{\begin{array}{l}{{f^′}（1）=1-a=-3}\\{f（1）=\frac{1}{3}-a+b=\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$----------------------（5分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4}\end{array}}\right.$----------------------（6分）
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$
所以f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）----------------------（7分）
令f′（x）=0，解得x=2或x=-2
當f′（x）＞0⇒x＞2或x＜-2；當f′（x）＜0⇒-2＜x＜2
所以函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，2），（2，+∞）
單調遞減區間是（-2，2）----------------------（9分）
又x∈[0，3]
所以當x變化時，f（x）和f′（x）變化情況如下表：

X	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+	0
f（x）	4	↘	極小值$-\frac{4}{3}$	↗	1

所以當x∈[0，3]時，f（x）_max=f（0）=4，
$f{（x）_{min}}=f（2）=-\frac{4}{3}$----------------------（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，切線方程以及閉區間上函數的最值求法，考查轉化思想以及計算能力．