Question

16．以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．已知：直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$   （t為參數），曲線C的極坐標方程為（1+sin²θ）ρ²=2．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，若點P為（1，0），求$\frac{1}{|AP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BP{|}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$   （t為參數），消去參數t得直線l的普通方程；曲線C的極坐標方程ρ²+ρ²sin²θ=2，化成直角坐標方程為x²+2y²=2；
（2）將直線l的參數方程代入曲線C：x²+2y²=2，得7t²+4t-4=0，利用參數的幾何意義，即可求$\frac{1}{|AP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BP{|}^{2}}$．

解答 解：（1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$   （t為參數），消去參數t得直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
曲線C的極坐標方程ρ²+ρ²sin²θ=2，化成直角坐標方程為x²+2y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．（5分）
（2）將直線l的參數方程代入曲線C：x²+2y²=2，得7t²+4t-4=0．
設A，B兩點在直線l的參數方程中對應的參數分別為t₁，t₂，
則t₁+t₂=-$\frac{4}{7}$，t₁t₂=-$\frac{4}{7}$，
∴$\frac{1}{|AP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BP{|}^{2}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{t}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}{（{t}_{1}{t}_{2}）^{2}}$=$\frac{9}{2}$．（12分）

點評 本題考查參數方程、極坐標方程的轉化，考查參數方程的運用，考查參數的幾何意義，屬于中檔題．