Question

5．某汽車生產企業上年度生產某一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛．出廠價為13萬元/每輛，年銷售量為5000輛，本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價相應的提高比例為0.7x，年銷售量也相應增加，已知年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量）．
（1）若每年銷售量的比例為0.4x，寫出本年度的年利潤關于x的函數關系式；
（2）若年銷售量關于x的函數為y=3240（-x²+2x+$\frac{5}{3}$），則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （1）根據年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．可設年利潤為y，從而可以構建函數關系式；
（2）根據年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量可得函數關系式，再利用導數法求最值．

解答 解：（1）由題意得：本年度每輛車的投入成本為10×（1+x）；
出廠價為13×（1+0.7x）；年銷售量為5000×（1+0.4x），…（2分）
設年利潤為y，則有y=[1.3（1+0.7x）-1×（1+x）]50000（1+0.4x）=50（-36x²+30x+300）．
即y=-1800x²+1500x+15000，x∈（0，1）．         …（6分）
（2）依題意年利潤f（x）=[1.3（1+0.7x）-1×（1+x）]×3240（-x²+2x+$\frac{5}{3}$），x∈（0，1）．
即f′（x）=$\frac{162}{5}$（9x³-48x²+45x+50），x∈（0，1）．（6分）
要求f（x）的最大值，即求g（x）=9x³-48x²+45x+50，x∈（0，1）的最大值．
g'（x）=27x²-96x+45．
由g'（x）=0得x=$\frac{5}{9}$或x=3（舍）．（8分）
當x∈（0，$\frac{5}{9}$）時，g'（x）＞0；當x∈（$\frac{5}{9}$，1）時，g'（x）＜0．
∴x=$\frac{5}{9}$時，g（x）有最大值，g（x）_max=$\frac{5000}{81}$．（10分）
∴f（x）_max=2000．（11分）
答：當x=$\frac{5}{9}$時，本年度年利潤最大為2000萬元．（12分）

點評 本題的考點是函數模型的選擇與應用，主要考查二次函數模型的構建，關鍵是利用年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量．同時考查導數法求函數的最值．