Question

17．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2ax²+3a²x+b（a＞0）．
（1）當y=f（x）的極小值為1時，求b的值；
（2）若f（x）在區間[1，2]上是減函數，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出f（3a）是函數的極小值，求出b的值即可；
（2）根據函數的單調性得到[1，2]⊆[a，3a]，求出a的范圍化簡．

解答 解：（1）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
令f′（x）≥0，解得：x≤a，x≥3a，
令f′（x）＜0，解得：a＜x＜3a，
故f（x）在（-∞，a）遞增，在（a，3a）遞減，在（3a，+∞）遞增，
由函數的單調性可知，函數在x=3a處取極小值，
即f（3a）=$\frac{1}{3}$（3a）³-2a（3a）²+3a²3a+b=1，
所以b=1；
（2）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
要使f（x）在區間[1，2]上是減函數，
則導數在[1，2]小于等于0，
即[1，2]⊆[a，3a]，
故$\left\{\begin{array}{l}{3a≥2}\\{a≤1}\end{array}\right.$，
所以$\frac{2}{3}$≤a≤1．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及集合的包含關系，是一道中檔題．