Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB∥DC，∠ADC=90°，PC=AB=2AD=2DC=2，點E為PB的中點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求點P到平面ACE的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥平面PBC，即可證明平面PAC⊥平面PBC；
（2）利用等體積，即可求點P到平面ACE的距離．

解答 （1）證明：∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC，
又∵AC⊥BC，PC∩BC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC…（5分）
（2）解：∵點E為PB的中點，∴S_△PCE=$\frac{1}{2}{S}_{△PCB}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（7分）
由（1）得：AC⊥平面PBC，∴V_A-PCE=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$，
設點P平面ACE的距離為h．
則由等體積可得$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}）h$=$\frac{1}{3}$解得：h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
點P到平面ACE的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查等體積方法求點到平面的距離，屬于中檔題．