Question

已知非零向量列{

an

}滿足：

a1

=（x₁，y₁），

an

=（x_n，y_n）=

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n+1+y_n+1）（n≥2，n∈N^*），
（1）證明：數列{|

an

|}是等比數列；
（2）向量

an-1

與

an

的夾角；
（3）設

a1

=（1，2），將

a1

，

a2

，

a3

…

an

，…中所有與

a1

共線的向量按原來的順序排成一列，記作

b1

，

b2

，

b3

…

bn

，…，令

OBn

=

b1

+

b2

+

b3

+…+

bn

，O為坐標原點，求點B_n的坐標．

Answer 1

考點：數列與向量的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得|

a

|=

x2+y2

≠0，|

an

|=

xn2+yn2

=

2

2

|

an-1

|，從而

| an |

| an-1 |

=

2

2

，由此能證明{|

an

|}是以|

a1

|為首項，

2

2

為公比的等比數列．
（2）設

an

與

an-1

的夾角為θ，

an

•

an-1

=x_nx_n-1+y_ny_n-1=

| an-1 |2

2

，從而cosθ=

| an-1 |2 2

2 2 | an-1 |2

=

2

2

，由此能求出向量

an-1

與

an

的夾角為

π

4

．
（3）由（2）知相鄰兩向量夾角為

π

4

，每相隔3個向量的兩向量必共線并方向相反，即

bn

=

a4n-3

，設

b2

=λ

b1

，由（1）知λ=-

| a5 |

| a1 |

=-（

2

2

）⁴=-

1

4

．由此能求出

OBn

．

解答： （1）證明：∵

a1

≠

0

，∴|

a

|=

x2+y2

≠0，
∵|

an

|=

xn2+yn2

=

( xn-1+yn-1 2 )2+( xn-1-yn-1 2 )2

=

2xn-12+2yn-12 4

=

2

2

xn-12+yn-12

=

2

2

|

an-1

|，
∴

| an |

| an-1 |

=

2

2

，
∴{|

an

|}是以|

a1

|為首項，

2

2

為公比的等比數列．
（2）解：設

an

與

an-1

的夾角為θ，
∴

an

•

an-1

=x_nx_n-1+y_ny_n-1
=

xn-1-yn-1

2

xn-1+

xn-1+yn-1

2

yn-1
=

xn-12+yn-12

2

=

| an-1 |2

2

，
∴cosθ=

| an-1 |2 2

2 2 | an-1 |2

=

2

2

，
∴θ=

π

4

，即
向量

an-1

與

an

的夾角為

π

4

．
（3）解：由（2）知相鄰兩向量夾角為

π

4

，
∴每相隔3個向量的兩向量必共線并方向相反，即

bn

=

a4n-3

，
設

b2

=λ

b1

，由（1）知λ=-

| a5 |

| a1 |

=-（

2

2

）⁴=-

1

4

．
∴

bn

=

a1

（-

1

4

）^n-1=（-

1

4

）^n-1（1，2），
∴

OBn

=

b1

+

b2

+

b3

+…+

bn

=(

4

5

[1-(-

1

4

)n]，

8

5

[1-(-

1

4

)n])．

點評：本題考查數列{|

an

|}是等比數列的證明，考查向量

an-1

與

an

的夾角的求示，考查點B_n的坐標的求法，解題時要認真審題，注意向量和數列知識的綜合運用．