Question

4．設函數f（x）=mx²-mx-1（m≠0），若對于x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意得m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]恒成立，令g（x）=m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]，利用函數的單調性質能求出m的取值范圍．

解答 解：要x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，
即m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]，
當 m＞0時，g（x）是增函數，
所以g（x）_max=g（3）=7m-6＜0，
解得m＜$\frac{6}{7}$．所以0＜m＜$\frac{6}{7}$．
∴m的取值范圍是（0，$\frac{6}{7}$）．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉化思想及函數性質的合理運用．