Question

16．已知直線x-2y+2與圓C：x²+y²-4y+m=0相交，截得的弦長為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（1）求圓C的方程；
（2）過點M（-1，0）作圓C的切線，求切線的直線方程；
（3）若拋物線y=x²上任意三個不同的點P、Q、R，且滿足直線PQ和PR都與圓C相切，判斷直線QR與圓C的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）求得圓心到直線的距離，由弦長公式，計算即可得到m=3，進而得到圓的方程；
（2）分類討論，運用直線和圓相切的條件，求得k，即可得出結論；
（3）設P（a，a²），Q（b，b²），R（c，c²），求得直線PQ，PR，QR的方程，運用直線和圓相切的條件，化簡整理，再由韋達定理，可得b，c的關系，再由圓心到直線QR的距離，即可判斷所求位置關系．

解答 解：（1）圓心C（0，2）到直線x-2y+2與的距離為d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∵截得的弦長為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴r=1
∴圓C的方程為：x²+（y-2）²=1 …4分
（2）斜率不存在時，x=-1滿足題意；
斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-2+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{3}{4}$，切線方程為3x+4y+3=0，
綜上所述，切線方程為x=-1或3x+4y+3=0；
（3）解：設P（a，a²），Q（b，b²），R（c，c²），可得k_PQ=a+b，
直線PQ的方程為y-a²=（a+b）（x-a），即為y=（a+b）x-ab，
同理可得，直線PR的方程為y=（a+c）x-ac，
直線QR的方程為y=（b+c）x-bc，
∵直線PQ和PR都與圓C相切，
∴$\frac{|2+ab|}{\sqrt{（a+b）^{2}+1}}$=1，$\frac{|2+ac|}{\sqrt{（a+c）^{2}+1}}$=1，即為b²（1-a²）-2ab+a²-3=0，
c²（1-a²）-2ac+a²-3=0，即有b，c為方程x²（1-a²）-2ax+a²-3=0的兩根，
可得b+c=$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$，bc=$\frac{{a}^{2}-3}{1-{a}^{2}}$，
由圓心到直線QR的距離為$\frac{|2+bc|}{\sqrt{1+（b+c）^{2}}}$=1，
則直線QR與圓C相切． …16分．

點評 本題考查直線和圓的位置關系，考查直線和圓相交的弦長公式和相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于中檔題．