Question

7．設向量$\overrightarrow{α}$=（1，cos²θ-sin²θ），$\overrightarrow$=（2，1），$\overrightarrow{c}$=（$4cos（\frac{π}{2}-θ）$，1），$\overrightarrowp9vv5xb5$=（$\frac{1}{2}cos（\frac{3π}{2}+θ），1$）其中$θ∈（0，\frac{π}{4}）$．
（1）求$\overrightarrow{α}•\overrightarrow-\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$的取值范圍．
（2）若函數f（x）=|x-1|，比較f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow$）與f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$）的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積與三角函數的運算性質，計算$\overrightarrow{α}•\overrightarrow-\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$的值即可；
（2）求出f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow$）與f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$），利用作差法比較f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow$）與f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$）的大�。�

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{α}$=（1，cos²θ-sin²θ），$\overrightarrow$=（2，1），
∴$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow$=2+cos²θ-sin²θ=2+cos2θ，
∵$\overrightarrow{c}$=（$4cos（\frac{π}{2}-θ）$，1），$\overrightarrowp9vv5xb5$=（$\frac{1}{2}cos（\frac{3π}{2}+θ），1$），
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrowp9vv5xb5$=2cos（$\frac{π}{2}$-θ）cos（$\frac{3π}{2}$+θ）+1=-2sinθsinθ+1=cos2θ；
∴$\overrightarrow{α}•\overrightarrow-\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$=（2+cos2θ）-cos2θ=2；
（2）∵函數f（x）=|x-1|，
∴f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow$）=|2+cos2θ-1|=|1+cos2θ|=1+cos2θ，
f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$）=|cos2θ-1|=1-cos2θ，
∴f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow$）-f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$）=（1+cos2θ）-（1-cos2θ）=2cos2θ；
又$θ∈（0，\frac{π}{4}）$，
∴2θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cos2θ＞0，
∴f（$\overrightarrow{α}•\overrightarrow$）＞f（$\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$）．

點評 本題考查了平面向量的數量積與三角函數的運算問題，也考查了利用作差法比較大小的應用問題，是綜合性題目．