Question

(09 年石景山區統一測試)（14分）

已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，過其右焦點且傾斜角為的

直線被雙曲線截得的弦的長為．

   （Ⅰ）求此雙曲線的方程；

   （Ⅱ）若直線：與該雙曲線交于兩個不同點、，且以線段為直徑

　　   　的圓過原點，求定點到直線的距離的最大值，并求此時直線的方程．

Answer 1

解析：（Ⅰ）設雙曲線的方程是（，），

則由于離心率，所以，．

從而雙曲線的方程為，且其右焦點為（，0）．

把直線的方程代入雙曲線的方程，消去并整理，得

．

設，，則，．

由弦長公式，得=6．

    所以，．

　　從而雙曲線的方程是．                          ………………5分

（Ⅱ）由和，消去，得．

     根據條件，得且.

　　 ∴ .

設，，則，.

由于以線段為直徑的圓過原點，所以.

即 .

從而有，即. …………8分

∴ 點到直線：的距離為:

   .                  ………………10分

由 ≥，解得 且．

由 ，解得 .

所以當時，取最大值，此時.

因此的最大值為，此時直線的方程是.     ………………14分