Question

已知函數f（x）=xe^x．
（I）求f（x）的單調區間與極值；
（II）是否存在實數a使得對于任意的x₁，x₂∈（a，+∞），且x₁＜x₂，恒有

f(x2)-f(a)

x2-a

＞

f(x1) -f(a)

x1-a

成立？若存在，求a的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）由f′（x）=e（x+1）=0，得x=-1；
當變化時的變化情況如下表：可知f（x）的單調遞減區間為（-∞，-1），遞增區間為（-1，+∞），
f（x）有極小值為f（-1）=-

1

e

，但沒有極大值．
（II）令g（x）=[f（x）-f（a）]/（x-a）=（xe^x-ae^a）/（x-a），x＞a，
則[f（x₂）-f（a）]/（x₂-a）＞[f（x₁）-f（a）]/（x₁-a）恒成立，
即g（x）在（a，+∞）內單調遞增這只需g′（x）＞0．而g′（x）=[e^x（x²-ax-a）+ae^a]/（x-a）²
記h（x）=e^x（x²-ax-a）+ae^a，
則h′（x）=e^x[x²+（2-a）x-2a]=e^x（x+2）（x-a）
故當a≥-2，且x＞a時，h′（x）＞0，h（x）在[a，+∞）上單調遞增．
故h（x）＞h（a）=0，從而g′（x）＞0，不等式（*）恒成立
另一方面，當a＜-2，且a＜x＜-2時，h′（x）＜0，h（x）在[a，-2]上單調遞減又h（a）=0，所以h（x）＜0，
即g′（x）＜0，g′（x）在（a，-2）上單調遞減．
從而存在x₁x₂，a＜x₁＜x₂＜-2，使得g（x₂）＜g（x₁）
∴a存在，其取值范圍為[-2，+∞）