Question

已知函數f（x）=log₄（x²-2x-3）求：
（1）f（x）的定義域；
（2）f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：復合函數的單調性,對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意可得x²-2x-3＞0，解不等式可求函數f（x）的定義域
（2）要求函數的單調性及單調區間，根據復合函數單調性，只要求解t=22x+3-x²在定義域內的單調區間即可．

解答： 解：（1）∵x²-2x-3＞0．
∴x＜-1或x＞3．
∴函數f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（3，+∞）．
（2）令t=x²-2x-3，則函數t在（1，+∞）上單調遞增，在（-∞，1）上單調遞減．
∵y=log₄t在（0，+∞）單調遞增．
∴函數f（x）在（3，+∞）上單調遞增，在（-∞，-1）上單調遞減．
函數的單調增區間（3，+∞），單調減區間是（-∞，-1）．

點評：本題主要考查了對數函數與二次函數復合而成的復合函數的定義域、單調性及函數的值域的求解，求解單調區間時不要漏掉對函數定義域的考慮．