Question

【題目】已知函數

（1）當時，求函數的單調區間

（2）當時，求函數在上的最大值

（3）當時，又設函數，求證：當，且時，

Answer 1

【答案】(1) 單調遞減區間為，單調遞增區間為，。(2) .(3)證明見解析

【解析】

（1）當時，求得導數則，進而可求得函數的單調區間；

（2）求得導數，令，利用導數求得的單調性，轉化為，再令，求得的單調性與最值，即可求解.

（3）把當，且時，，轉化為證明不等式，設，，令利用求得函數的單調性，得到，即可作出證明.

（1）由題意，當時，函數，

則，

令，得，，

當時，，函數單調遞減；

當和時，，函數單調遞減；

所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，.

（2）由函數

則，

令得，，

令，則，所以在上遞增，

所以，從而，所以，

所以當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增；

所以，

令，則，

令，則，所以在上遞減，

而，

所以存在使得，且當時，，

當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

又因為，，

所以在上恒成立，則，.

綜上所述，函數在上最大值.

（3）當時，，

因為，所以，

若證當，且時，.

即證

，

即證，即證，

設，，令

則，因為恒成立，故，

即，即.