【題目】已知點A，B是拋物線
上關于軸對稱的兩點，點E是拋物線C的準線與x軸的交點.
（1）若
是面積為4的直角三角形，求拋物線C的方程；
（2）若直線BE與拋物線C交于另一點D，證明：直線AD過定點.
【答案】(1) 
；(2) 證明見解析
【解析】
（1）根據直角三角形的性質，可以得到
三點在以焦點為圓心，
為半徑的圓上，故點
，
,
,再根據三角形面積，即可求出。
（2）設
,
所在直線方程和拋物線方程，通過韋達定理，得到斜率的表達式，進而得到
所在直線的表達式，通過化簡整理，即可證明。
解：（1）由題意，
是等腰直角三角形，且
不妨設點A位于第一象限，則直線EA的方程為
，
聯立方程，
，解得
所以點
，
，
，解得
，
故拋物線C的方程為
（2）（方法一）設
，
，則直線EB的方程為
聯立方程，
，消去
，
得關于
的方程
該方程有一個根
，兩根之積為
，
則另一個根為
，所以點D的坐標為
直線AD的斜率為
所以AD的方程為
化簡得
所以直線AD過定點
（方法二）設
，
，
，直線BE的方程為
，
聯立方程，
，消去x，
得關于x的方程
，所以
則
直線AD的方程為
化簡得
所以直線AD過定點
優等生題庫系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線
：
，（
為參數），將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的
，縱坐標縮短為原來的
后得到曲線
，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為
。
（1）求曲線的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線交于不同的兩點A，B，點M為拋物線
的焦點，求
的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖放置的邊長為1的正方形
沿
軸滾動，點
恰好經過原點.設頂點
的軌跡方程是
，則對函數有下列判斷：①函數是偶函數；②對任意的
，都有
；③函數在區間
上單調遞減；④函數的值域是
；⑤
.其中判斷正確的序號是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知棱長為1的正方體
，點
是四邊形
內（含邊界）任意一點，
是
中點，有下列四個結論：
①
；②當點為
中點時，二面角
的余弦值
；③
與
所成角的正切值為
；④當
時，點的軌跡長為
.
其中所有正確的結論序號是（ ）
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】袋中裝有除顏色外形狀大小完全相同的6個小球，其中有4個編號為1,2, 3, 4的紅球,2個編號為A、B的黑球，現從中任取2個小球.;
(1)求所取2個小球都是紅球的概率;
(2)求所取的2個小球顏色不相同的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為建立健全國家學生體質健康監測評價機制，激勵學生積極參加身體鍛煉，教育部印發《國家學生體質健康標準（2014年修訂）》，要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級開展了一次體質健康模擬測試（健康指數滿分100分），并從中隨機抽取了200名學生的數據，根據他們的健康指數繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）估計這200名學生健康指數的平均數
和樣本方差
（同一組數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）由頻率分布直方圖知，該市學生的健康指數
近似服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數，
近似為樣本方差.
①求
；
②已知該市高三學生約有10000名，記體質健康指數在區間
的人數為
，試求
.
附：參考數據
，
若隨機變量服從正態分布，則
，
,
.
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