Question

【題目】已知棱長為1的正方體，點是四邊形內（含邊界）任意一點， 是中點，有下列四個結論：

①；②當點為中點時，二面角的余弦值；③與所成角的正切值為；④當時，點的軌跡長為.

其中所有正確的結論序號是（ ）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①利用線面平行，得到線線平行。②要求二面角的余弦值，轉化為求二面角的平面角余弦值。③要求線線角，將其平移至一個三角形中，即可求解。④證明平面，則即為點的運動路徑，通過計算即可求解。

解：如圖所示，

①根據正方體的幾何性質，易得平面,又因為平面, 故，即，故①對。

②當點為中點時，,且,所以二面角的平面角為,連接,又，故所求二面角的余弦值為 .故②錯。

③因為,所以與所成角即為與所成角，即為,連接,在等腰三角形中，為底邊中點，所以 ，所以與所成角的正切值為.故③對。

④點為 中點，所以，又因為 所以平面, 即點在線段上運動時，，所以點的軌跡長為，故④對。

故選.