Question

【題目】如圖所示的幾何體中，正方形與梯形所在的平面互相垂直，， ，，.

（1）求證:平面；

（2）求證:平面平面；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）取AB中點M，連結MF，MC，可證四邊形MCEF為平行四邊形，得EC∥MF，進而得證；

（2）由題干面面垂直的性質可得，平面ADEF∩平面ABCD=AD，又AF⊥AD，可證AF⊥平面ABCD，進而得證；

（3）以A為原點，AB，AD，AF所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出對應的點坐標，表示出向量，分別求出平面ABF和平面BCF的法向量，結合向量夾角公式即可求解

（1）取AB中點M，連結MF，MC，∵MACD，且MACD，∴四邊形MCEF為平行四邊形，∴EC∥MF，∵EC平面ABF，MF平面ABF，∴EC∥平面ABF.

（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD， AF⊥AD，AF平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD，又∵AF平面FAC，∴平面FAC⊥平面ABCD.

（3)以A為原點，AB，AD，AF所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則B(4，0，0)，F(0，0，2)，C(2，2，0)，(﹣2，2，0)，(﹣4，2，0)，平面ABF的一個法向量(0，1，0)，設平面BCF的法向量(x，y，z)，則，取x=1，得(1，1，2)，設二面角A﹣BF﹣C的平面角為θ，則cosθ.∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值為.