Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，．

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理證明平面，即證；

（2）以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求平面的法向量，用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．

（1）平面，平面，.

底面是矩形，，又，

平面，平面，

.

（2）以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示

則，

，

設平面的法向量，則

，即，令，則，.

設直線與平面所成的角為，則

.

所以與平面所成角的正弦值為.

（3）.

設平面的法向量，則

，即，令，則..

又平面的法向量.

設二面角的大小為，則為銳角，

，

所以二面角的余弦值為．