Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，左右焦點為F₁、F₂，過右焦點F₂的直線l交橢圓于A、B兩點，且△ABF₂的周長為8．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若△ABF₁的面積為

12 2

7

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意求得4a，2c，得到a，c的值，結合隱含條件求得b的值，則橢圓的標準方程可求；
（2）直接由題意設出直線方程x=ty+1，和橢圓方程聯立后化為關于y的一元二次方程，由三角形的面積公式寫出面積，求得t的值，則直線方程可求．

解答： 解：（1）由題意可知，4a=8，a=2，2c=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
則橢圓的標準方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）知，F₂（1，0），
設直線方程為x=ty+1，
聯立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
y1+y2=-

6t

3t2+4

，y1y2=-

9

3t2+4

，
S△ABF1=

1

2

×2c|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 6t 3t2+4 )2+ 36 3t2+4

=

12 t2+1

3t2+4

=

12 2

7

，
解得：t²=1．
∴t=±1．
故直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了弦長公式的應用，是中檔題．