Question

若拋物線y²=2px上的三點的縱坐標的平方成等差數列，則這三點到焦點的對應距離構成的數列是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先設三點的坐標，根據縱坐標的平方成等差數列可得到其橫坐標也成等差數列，然后表示出三點到焦點的距離，即可得到答案．

解答： 解：設這三點為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）
因為縱坐標的平方成等差數列，即 y₁²，y₂²，y₃²成等差數列，三點縱坐標分別代入拋物線方程，
可知三點橫坐標亦成等差數列．
即2x₂=x₁+x₂，
因為AF=x₁+

p

2

，BF=x₂+

p

2

，CF=x₃+

p

2

AF+CF=x₁+x₃+

p

2

+

p

2

=x₁+x₃+p=2x₂+p=2BF
所以2BF=AF+CF
故三點到焦點的對應距離構成的數列是等差數列．
故答案為：等差數列．

點評：本題主要考查拋物線的基本性質，即拋物線上點到焦點的距離等于到準線的距離．