Question

6．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，$AB=BC=\sqrt{5}，AC=2$且點A₁在底面ABC上的射影O恰是線段AC的中點，$A{A_1}=\sqrt{5}$．
（1）判斷A₁B與B₁C是否垂直，并證明你的結論；
（2）求點A₁到平面BCC₁B₁的距離．

Answer 1

分析 （1）連結OB，以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出A₁B⊥B₁C．
（2）求出$\overrightarrow{B{A}_{1}}$和設平面BCC₁B₁的法向量，利用向量法能求出點A₁到平面BCC₁B₁的距離．

解答 解：（1）A₁B與B₁C垂直．
證明如下：
連結OB，∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，$AB=BC=\sqrt{5}，AC=2$且點A₁在底面ABC上的射影O恰是線段AC的中點，$A{A_1}=\sqrt{5}$，
∴A₁O⊥平面ABC，OB⊥AC，
以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A₁（0，0，2），B（2，0，0），B₁（2，1，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$•$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=-4+0+4=0，
∴A₁B⊥B₁C．
（2）$\overrightarrow{BC}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，0，2），
設平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
∴點A₁到平面BCC₁B₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線線是否垂直的判斷證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題．