Question

18．電視臺播放甲、乙兩套連續劇，每次播放連續劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續劇時，連續劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：

	連續劇播放時長（分鐘）	廣告播放時長（分鐘）	收視人次（萬）
甲	70	5	60
乙	60	5	25

已知電視臺每周安排的甲、乙連續劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續劇播放的次數不多于乙連續劇播放次數的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續劇的次數．
（I）用x，y列出滿足題目條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；
（II）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續劇各多少次，才能使總收視人次最多？

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由題意結合圖表列關于x，y所滿足得不等式組，化簡后即可畫出二元一次不等式所表示的平面區域；
（Ⅱ）寫出總收視人次z=60x+25y．化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案．

解答 （Ⅰ）解：由已知，x，y滿足的數學關系式為$\left\{\begin{array}{l}70x+60y≤600\\ 5x+5y≥30\\ x≤2y\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}7x+6y≤60\\ x+y≥6\\ x-2y≤0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$．
該二元一次不等式組所表示的平面區域如圖：

（Ⅱ）解：設總收視人次為z萬，則目標函數為z=60x+25y．
考慮z=60x+25y，將它變形為$y=-\frac{12}{5}x+\frac{z}{25}$，這是斜率為$-\frac{12}{5}$，隨z變化的一族平行直線．
$\frac{z}{25}$為直線在y軸上的截距，當$\frac{z}{25}$取得最大值時，z的值最大．
又∵x，y滿足約束條件，
∴由圖可知，當直線z=60x+25y經過可行域上的點M時，截距$\frac{z}{25}$最大，即z最大．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}7x+6y=60\\ x-2y=0\end{array}\right.$，得點M的坐標為（6，3）．
∴電視臺每周播出甲連續劇6次、乙連續劇3次時才能使總收視人次最多．

點評 本題考查解得線性規劃的應用，考查數學建模思想方法及數形結合的解題思想方法，是中檔題．