Question

12．平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，$∠BAD=\frac{π}{3}$，則|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 利用平面向量的平行四邊形法則得到$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$=$2\overrightarrow{AC}$=2（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$），然后配方展開，借助于數量積公式得到數值，然后開方求模長．

解答 解：由已知得到$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$=$2\overrightarrow{AC}$=2（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$），所以|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$|²=4（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）²=4（${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$）=4（4+1+2）=28，
所以|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{24}$=$2\sqrt{7}$；
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了平面向量的模長計算；運用了模長的平方與向量的平方相等．