Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2

3

，長軸長是短軸長的2倍．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）斜率為k的直線l交橢圓于A、B兩點，其中A點為橢圓的左頂點，若橢圓的上頂點P始終在以AB為直徑的圓內，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,方程思想,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據橢圓的幾何性質，列出方程組

a b =2 c= 3 a2=b2+c2

，求出a、b的值即可；
（Ⅱ）寫出直線l的方程，與橢圓方程聯立，求出點B的坐標，利用P在以AB為直徑的圓內，

PA

•

PB

＜0，求出k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）根據題意，得

a b =2 c= 3 a2=b2+c2

；
解得a=2，b=1；
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y²=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及題意，知頂點A為（-2，0），
∴直線l的方程為y=k（x+2），
與橢圓方程聯立，得

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

；
消去y，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0；
設點B為（x₀，y₀），則x₀-2=-

16k2

1+4k2

，
∴x₀=

2-8k2

1+4k2

，y₀=

4k

1+4k2

；
又橢圓的上頂點P在以AB為直徑的圓內，
∴∠APB為鈍角，即

PA

•

PB

＜0；
∵P（0，1），A（-2，0），B（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
∴

PA

=（-2，-1），

PB

=（

2-8k2

1+4k2

，

-4k2+4k-1

1+4k2

）；
∴

16k2-4

1+4k2

+

4k2-4k+1

1+4k2

＜0，
即20k²-4k-3＜0，解得k∈（-

3

10

，

1

2

）．

點評：本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，也考查了直線與橢圓方程的綜合應用問題，考查了方程思想的應用，是綜合性題目．