Question

4．已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，BC邊的高是AD，且BC=AD，則$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$的最大值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由由余弦定理列出方程求出b²+c²，由條件和三角形的面積公式化簡(jiǎn)得a²=bcsinA，代入化簡(jiǎn)后，由兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的最大值求出答案．

解答 解：由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
則b²+c²=a²+2bccosA，①
由△ABC的面積可得：S=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}{a}^{2}$，
即a²=bcsinA，代入①得：b²+c²=bc（2cosA+sinA），
兩邊同除以bc得，$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$=2cosA+sinA=$\sqrt{5}sin（A+\frac{π}{4}）$，
當(dāng)$sin（A+\frac{π}{4}）$=1，即A=$\frac{π}{4}$時(shí)，取得最大值是$\sqrt{5}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理，三角形面積公式，兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．