Question

9．已知直線l₁：4x-3y+6=0和直線${l_2}：x=-\frac{p}{2}$，若拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）在拋物線C上恒有兩點關于直線y=kx+3對稱，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義知：P到直線${l_2}：x=-\frac{p}{2}$的距離等等于P到焦點的距離，則P距離之和的最小值為點F到直線l₁的距離，利用點到直線的距離公式，即可求得p的值，求得拋物線C的方程；
（2）可設直線AB：x=-ky+m．代入拋物線方程，由韋達定理及中點坐標公式可知：$m=-\frac{{2{k^3}+2k+3}}{k}$．又AB與拋物線有兩個不同的交點，故△=16k²+16m＞0．代入即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）焦點在x軸上，焦點F（$\frac{p}{2}$，0），
由拋物線的定義知：P到直線${l_2}：x=-\frac{p}{2}$的距離等等于P到焦點的距離，
∴P到兩直線的距離之和的最小值為點F到直線l₁的距離，
由點到直線的距離公式可知：$\frac{丨2p+6丨}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=2，解得：p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（x₀，y₀），關于直線y=kx+3對稱，
故可設直線AB：x=-ky+m．
$\left\{\begin{array}{l}{x=-ky+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²+4ky-4m=0．
由韋達定理可知：y₁+y₂=-4m，則${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=-2k$，
∴${x_0}=-k{y_0}+m=2{k^2}+m$．
∵點M（x₀，y₀）在y=kx+3上，則-2k=k（2k²+m）+3．即$m=-\frac{{2{k^3}+2k+3}}{k}$．
又AB與拋物線有兩個不同的交點，故△=16k²+16m＞0．
將m代入上式得：$\frac{{k}^{3}+2k+3}{k}$，即k（k+1）（k²-k+3）＜0，
k²-k+3＞0恒成立，
∴解得：-1＜k＜0，
由故k的取值范圍為（-1，0）．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式及判別式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．