Question

10．在平面直角坐標系xoy中，點P到兩點（0，-$\sqrt{2}$）、（0，$\sqrt{2}$）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）過A（1，$\sqrt{2}$）作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于A的另外兩點B，D，證明：直線BD的斜率為定值，并求出這個定值；
（3）在（2）的條件下，△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意，設F₁（0，-$\sqrt{2}$），F₂（0，$\sqrt{2}$）由|PF₁|+|PF₂|=4$＞2\sqrt{2}$，則曲線C是以F₁，F₂為焦點的橢圓，設其方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），則2a=4，2c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²．聯立解出即可得出．
（2）設直線AB的斜率為k，則直線AD的斜率為-k，設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則直線AB的方程為y-$\sqrt{2}$=k（x-1），
與橢圓方程聯立化簡整理可得：（2+k²）x²+2k$（\sqrt{2}-k）$x+k²-2$\sqrt{2}$k-2=0，利用根與系數的關系代入k_BD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$即可得出．
（3）由（2）可設BD的方程為y=$\sqrt{2}$x+m，與橢圓方程聯立化簡整理得：4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-4=0，|BD|=$\sqrt{3}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．設A到直線BD的距離為d，則d=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，S_△ABD=$\frac{1}{2}$|BD|•d=$\frac{\sqrt{2}}{4}×\sqrt{{m}^{2}（8-{m}^{2}）}$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）由題意，設F₁（0，-$\sqrt{2}$），F₂（0，$\sqrt{2}$）由|PF₁|+|PF₂|=4$＞2\sqrt{2}$，則曲線C是以F₁，F₂為焦點的橢圓，
設其方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），則2a=4，2c=2$\sqrt{2}$．
∴a=2，c=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2．
∴橢圓C的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
（2）設直線AB的斜率為k，則直線AD的斜率為-k，
設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則直線AB的方程為y-$\sqrt{2}$=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{2}=k（x-1）}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化簡整理可得：（2+k²）x²+2k$（\sqrt{2}-k）$x+k²-2$\sqrt{2}$k-2=0，
則1和x₁是上述方程的兩個根，則x₁=$\frac{{k}^{2}-2\sqrt{2}k-2}{2+{k}^{2}}$，
y₁=kx₁+$\sqrt{2}$-k=$\frac{-\sqrt{2}{k}^{2}-4k+2\sqrt{2}}{2+{k}^{2}}$．
同理可得：x₂=$\frac{{k}^{2}+2\sqrt{2}k-2}{2+{k}^{2}}$，y₂=$\frac{-\sqrt{2}{k}^{2}+4k+2\sqrt{2}}{2+{k}^{2}}$．
∴k_BD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{8k}{4\sqrt{2}k}$=$\sqrt{2}$．
（3）由（2）可設BD的方程為y=$\sqrt{2}$x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化簡整理得：4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-4=0，
△=8m²-16（m²-4）=-8m²+64＞0，解得$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$．
∴x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4}$，|BD|=$\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{3}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{3}\sqrt{\frac{{m}^{2}}{2}-（{m}^{2}-4）}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{8-{m}^{2}}$．
設A到直線BD的距離為d，則d=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，
S_△ABD=$\frac{1}{2}$|BD|•d=$\frac{\sqrt{2}}{4}×\sqrt{{m}^{2}（8-{m}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{{m}^{2}+8-{m}^{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
當且僅當8-m²=m²，即m=±2時，△ABD的面積最大，最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系、基本不等式的性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．