Question

15．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f′（x）為函數(shù)f（x）的導函數(shù)，當x∈[0．+∞）時，2sinxcosx-f′（x）＞0且?x∈R，f（-x）+f（x）+cos2x=1．則下列說法一定正確的是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$-f（-$\frac{5π}{6}$）＞$\frac{3}{4}$-f（-$\frac{2π}{3}$）
• B． $\frac{1}{4}$-f（-$\frac{5π}{6}$）＞$\frac{3}{4}$-f（-$\frac{4π}{3}$）
• C． $\frac{3}{4}$-f（$\frac{π}{3}$）＞$\frac{1}{2}$-f（$\frac{3π}{4}$）
• D． $\frac{1}{2}$-f（-$\frac{3π}{4}$）＞$\frac{3}{4}$-f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 令F（x）=sin²x-f（x），可得F′（x）=2sinxcosx-f′（x）＞0，x∈[0．+∞）時．可得F（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增．又?x∈R，f（-x）+f（x）+cos2x=1．可得f（-x）=sin²x-2sin²x+f（x）=-[sin²x-f（x）]，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)．進而得出答案．

解答 解：令F（x）=sin²x-f（x），則F′（x）=2sinxcosx-f′（x）＞0，x∈[0．+∞）時．
∴F（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增．又?x∈R，f（-x）+f（x）+cos2x=1．
∴f（-x）+f（x）=2sin²x，
∴sin²（-x）-f（-x）=sin²x-2sin²x+f（x）=-[sin²x-f（x）]，
故F（x）為奇函數(shù)，
∴F（x）在R上單調(diào)遞增，∴$F（-\frac{5π}{6}）$＞F$（-\frac{4π}{3}）$．
即$\frac{1}{4}-f（-\frac{5π}{6}）$＞$\frac{3}{4}$-F$（-\frac{4π}{3}）$，
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性奇偶性、利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．