Question

20．已知三棱錐P-ABC，若PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，則三棱錐P-ABC的內切球半徑為$\frac{{3-\sqrt{3}}}{6}$．

Answer 1

分析 利用三棱錐P-ABC的內切球的球心，將三棱錐分割成4個三棱錐，利用等體積，即可求得結論．

解答 解：由題意，設三棱錐P-ABC的內切球的半徑為r，球心為O，則由等體積
V_B-PAC=V_O-PAB+V_O-PAC+V_O-ABC
可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$3×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×r$+$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×2×r$，
∴r=$\frac{{3-\sqrt{3}}}{6}$，
故答案為$\frac{{3-\sqrt{3}}}{6}$．

點評 本題考查三棱錐P-ABC的內切球，考查學生分析轉化問題的能力，正確求體積是關鍵．