Question

7．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+b）．
（Ⅰ） 若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，2）∪（3，+∞），求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）  若f（-2）=-3且f（x）在（-∞，-1]上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，不等式x²-ax+b＞0 的解集是 （-∞，2）∪（3，+∞），所以2，3是方程x²-ax+b=0 的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理，可得實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ） 設(shè)g（x）=x²-ax+b，若f（-2）=-3且f（x）在（-∞，-1]上為增函數(shù)，則g（-2）=8，g（x）=x²-ax+b在（-∞，-1]上是減函數(shù)且恒為正數(shù)，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意，不等式x²-ax+b＞0 的解集是 （-∞，2）∪（3，+∞），
所以2，3是方程x²-ax+b=0 的兩實(shí)根，
∴2+3=a且2×3=b，
即a=5，b=6 …（7分）
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-ax+b，
由f（-2）=-3得g（-2）=4+2a+b=8，
即a=$\frac{1}{2}$（4-b）…（10分）
又 f（x）在（-∞，-1]上為增函數(shù)，
所以g（x）=x²-ax+b在（-∞，-1]上是減函數(shù)且恒為正數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}≥-1\\ g（-1）=1+a+b＞0\end{array}\right.$，
也即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}（4-b）≥-1\\ 1+\frac{1}{2}（4-b）+b＞0\end{array}\right.$，
解得：b∈（-6，8]．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)恒成立問(wèn)題，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．