Question

【題目】將2張邊長均為1分米的正方形紙片分別按甲、乙兩種方式剪裁并廢棄陰影部分．

（1）在圖甲的方式下，剩余部分恰能完全覆蓋某圓錐的表面，求該圓錐的母線長及底面半徑；
（2）在圖乙的方式下，剩余部分能完全覆蓋一個長方體的表面，求長方體體積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：甲圖對應的圓錐如圖丙，圓錐母線為PA=L，圓錐底面圓半徑為OA=r

則有L+r+ = ， 解得L= ，r=

∴該圓錐的母線長及底面半徑分別為 分米、 分米

（2）解：圖乙剩余部分覆蓋的長方體如圖丁所示，設其棱長為a，b，c

則2（a+b）=1，2b+c=1a= ，c=1﹣2b

長方體體積的V=abc=（ ）b（1﹣2b）= ，（0 ）

令g（b）= ，（0 ），g′（b）=4b2﹣4b+ =（3b﹣ ）（2b﹣1）

b 時，g′（b）＞0，b 時，g′（b）＜0

∴g（b）在（0， ）遞增，在（ ）遞減，

∴當b= 時，長方體體積最大值，Vmax=（ ）× ×（1﹣2× ）= ．

【解析】（1）設圓錐母線長為L，底面半徑為r，則根據題意可知L+r+r=（正方形的對角線長），然后根據扇形弧長=底面圓的周長列出另一個關于L、r的方程，兩方程聯立即可求解；（2）設長方體棱長分別為a、b、c，然后根據題意將長方體體積V用b表示，構造函數g（b），利用導數討論g（b）的單調性進而求出V的最大值.
【考點精析】利用旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球．