【題目】已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且a+2c=2bcosA．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2 
，a+c=4，求△ABC的面積．
【答案】
（1）解：因為a+2c=2bcosA，
由正弦定理，得sinA+2sinC=2sinBcosA，
因為C=π﹣（A+B），
所以sinA+2sin（A+B）=2sinBcosA．
即以sinA+2sinAcosB+2cosAsinB=2sinBcosA，
所以sinA（1+2cosB）=0，
因為sinA≠0，
所以cosB=﹣ 
，
又因為0＜B＜π，
所以B= 
（2）解：由余弦定理a2+c2﹣2accosB=b2及b=2 
得，a2+c2+ac=12，
即（a+c）2﹣ac=12，
又因為a+c=4，
所以ac=4，
所以S△ABC= acsinB= ×4× 
=
【解析】（1）在△ABC中利用正弦定理整理已知式子可得cosB的值，根據內角的取值范圍得到B。（2）利用已知根據余弦定理可推導出ac=4，進而得到三角形的面積。
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【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC為正三角形．
（Ⅰ）證明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線 
（a為參數），直線l：x﹣y﹣6=0．
（1）在曲線C上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值；
（2）過點M（﹣1，0）且與直線l平行的直線l1交C于A，B兩點，求點M到A，B兩點的距離之積．
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【題目】已知函數f（x）=xlnx﹣x﹣ 
（a∈R），在定義域內有兩個不同的極值點x1 ， x2（x1＜x2）．
（ I）求a的取值范圍；
（ II）求證：x1+x2＞2e．
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【題目】設函數f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=cosx．
（1）若函數 
在（1，+∞）上單調遞增，求m的取值范圍；
（2）設函數φ（x）=f（x）+g（x），若對任意的 
，都有φ（x）≥0，求m的取值范圍；
（3）設m＞0，點P（x0 ， y0）是函數f（x）與g（x）的一個交點，且函數f（x）與g（x）在點P處的切線互相垂直，求證：存在唯一的x0滿足題意，且 
．
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【題目】已知函數f（x）=（ax﹣1）ex（a≠0，e是自然對數的底數）．
（1）若函數f（x）在區間[1，2]上是單調減函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）的極值；
（3）設函數f（x）圖象上任意一點處的切線為l，求l在x軸上的截距的取值范圍．
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【題目】已知向量 
=（1，2）， 
=（cosα，sinα），設 
= +t （t為實數）．
（1）若 
，求當| |取最小值時實數t的值；
（2）若 ⊥ ，問：是否存在實數t，使得向量 ﹣ 和向量 的夾角為 
，若存在，請求出t；若不存在，請說明理由．
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【題目】將2張邊長均為1分米的正方形紙片分別按甲、乙兩種方式剪裁并廢棄陰影部分．
（1）在圖甲的方式下，剩余部分恰能完全覆蓋某圓錐的表面，求該圓錐的母線長及底面半徑；
（2）在圖乙的方式下，剩余部分能完全覆蓋一個長方體的表面，求長方體體積的最大值．
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